1. 用有限覆盖定理
先用有限覆盖定理证明聚点定理，再用聚点定理证明致密性定理（即任何有界数列必有收敛子列）。
2. 有限覆盖定理怎么用
所谓有限覆盖定理，是指：对于有界闭区间[a，b]的一个（无限）开覆盖H中，总能选出有限个开区间来覆盖[a，b]。
这一问题可用区间套定理来证明。（区间套定理：若[an,bn]是一个区间套，则在实数系中存在唯一一点C，使对任何n都有c属于[an,bn].{an}单调递增，{bn}单调递减，都以c为极限。）
证明：用反证法 假定不能用H中有限个开区间来覆盖[a,b].
将[a,b]等分为两个子区间，则其中至少有一个子区间不能用H中有限个开区间来覆盖。记这个子区间为[a1,b1],则[a1,b1]包含于[a,b],且b1-a1=(b-a)/2.
再将[a1,b1]等分为两个子区间，同样，其中至少有一个不能用H中有限个开区间覆盖。记这个子区间为[a2,b2],则[a2,b2]包含于[a1,b1],且b2-a2=(b-a)/2^2.
重复以上步骤并不断进行下去，则可得到区间列{[an,bn]},它满足区间套条件，且其中每一个闭区间都不能用H中有限个开区间来覆盖。
但，由区间套定理，存在唯一点c属于所有区间[an,bn].由于H是[a,b]的开覆盖，一定存在H中的一个开区间(a0,b0),使c属于(a0,b0).即a0<c<b0.而{an}，{bn}都以c为极限，即知，存在N，当n>N时,a0<an<=c<=bn<b0.这表明，只用开区间(a0,b0)就覆盖了区间[an,bn].
这与挑选[an,bn]时假设“[an,bn]不能用H中有限个开区间覆盖”矛盾。从而证得，必存在H中有有限个开区间能覆盖[a,b].
3. 谁可以帮我解释一下有限覆盖定理，完全看不懂定理的描述。
定理：设H为闭区间[a,b]的一个（无限）开覆盖，则从H中可选出有限个开区间开覆盖[a,b].开覆盖的定义：设S为数轴上的点集，H为开区间的集合，（即H中每一个元素都是形如(a,b)的开区间).若S中的任何一点都含在至少一个开区间内，则称H为S的一个开覆盖，或简称H覆盖S.若H中的开区间的个数是有限（无限）的，那么就称H为S的一个有限（无限）覆盖.有限覆盖定理是实数定理1.确界定理2.单调有界数列必收敛3.闭区间套定理4聚点定理5凝聚定理 的逆否命题。 用1-5定理证明有限覆盖定理比较简单，用反证法即可以完成。 而用有限覆盖定理证明1-5，也要用反证法，但是初学者对如何构造具体的开覆盖是不如上面的直观。
4. 解释一下有限覆盖定理
全部咯，只有4个，就是有限了。
(1,4),(3,6)也可以，就两个咯。
5. 有限覆盖定理到底有什么意义
有限覆盖定理：设H是闭区间[a,b]的一个（无限）开覆盖，则必可从H中选择有限个开区间来覆盖[a,b]。
有限覆盖定理是实数定理：
1.确界存在定理；2. 单调有界定理；3.闭区间套定理；4.聚点定理；5. 柯西收敛准则的逆否命题。这6个定理是等价的，可以互相推出对方，它们都反应了实数的连续性与完备性，在数学分析上有着重要的运用。
尤其是有限覆盖定理，它可以推广到n维空间（此时定理的描述会发生改变，但本质不变），从而定义了紧集和紧空间等。
当然，利用有限覆盖定理，还可以证明闭区间上连续函数的某些性质。在这里作为例子，利用有限覆盖定理证明闭区间上的连续函数一致连续。
6. 解释，覆盖，开覆盖，有限覆盖，有限覆盖定理
为了直观理解方便，就在二维空间里解释吧：
首先在平面上规定一个区域，叫做A区域。这个区域可以任意规定，可以是曲线围出来的部分，也可以就是几条曲线，或者仅仅几个点也行，甚至可以同时包括这些东西。比如可以规定A是一个实体正方形和一个圆周在加上其它几个点。
现在另外找一堆区域，比如说可以找一堆圆盘，如果用这一堆区域能够把A区域“盖住”，就说这一堆区域是A的一个“覆盖”，这里的“盖住”就理解为日常生活中的“盖住”就行，比如说拿一个锅盖把一个锅“盖住”，要是一个锅盖盖不住，就用好几个锅盖，这些锅盖可以互相重叠，怎么盖都行，只要把锅盖住了就好。
因为“区域”本身在数学上被定义为点集，所以有开集、闭集之说，如果我们找到的那堆用来覆盖A的区域全都是开集，就说这个覆盖是“开覆盖”。
如果能找到有限个区域把A覆盖，就说这有限个区域是A的一个“有限覆盖”。这种情况是存在的，因为如果A比较简单，比如就是一个正方形，那就找一个大正方形就能把它盖住，那么这个大正方形就是A的一个有限覆盖。
有限覆盖定理说的是：对于A的任何一个开覆盖，也就是一堆开集，它们覆盖了A，总是可以在这个开覆盖中找到有限个开集，用这有限个开集就能把A覆盖了。
7. 数学分析，有限覆盖定理
有限覆盖定理必须要有闭区间（多元则区域）这个先决条件！
8. 怎样理解有限覆盖定理
个人推荐去看Apostol的数学分析上Heine-Borel的证明