A. 泰勒公式/定理 應用
e^x≈1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n
B. 泰勒定理（泰勒公式）的證明沒看懂
誤差是被連續函數的有界性自動保證的
C. 關於泰勒公式應用的文獻綜述
f(x)=f(x0)+f'(x0)*(x-x0)+f''(x0)/2!*(x-x0)^2+...+f(n)(x0)/n!*(x-x0)^n （泰勒公式，最後一項中n表示n階導數）
f(x)=f(0)+f'(0)*x+f''(x)/2!*x^2+...+f(n)(0)/n!*x^n （麥克勞林公式公式，最後一項中n表示n階導數）
泰勒中值定理：若函數f(x)在開區間（a，b）有直到n+1階的導數，則當函數在此區間內時，可以展開為一個關於（x-x.)多項式和一個余項的和：
f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!•(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!•(x-x.)^3+……+f(n)(x.)/n!•(x-x.)^n+Rn
其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!•(x-x.)^(n+1),這里ξ在x和x.之間，該余項稱為拉格朗日型的余項。
（註：f(n)(x.)是f(x.)的n階導數，不是f(n)與x.的相乘。）
證明：我們知道f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+α（根據拉格朗日中值定理導出的有限增量定理有limΔx→0 f(x.+Δx)-f(x.)=f'(x.)Δx），其中誤差α是在limΔx→0 即limx→x.的前提下才趨向於0，所以在近似計算中往往不夠精確；於是我們需要一個能夠足夠精確的且能估計出誤差的多項式：
P(x)=A0+A1(x-x.)+A2(x-x.)^2+……+An(x-x.)^n
來近似地表示函數f(x)且要寫出其誤差f(x)-P(x)的具體表達式。設函數P(x)滿足P(x.)=f(x.),P'(x.)=f'(x.), P''(x.)=f''(x.),……,P(n)(x.)=f(n)(x.),於是可以依次求出A0、A1、A2、……、An。顯然，P(x.)=A0, 所以A0=f(x.)；P'(x.)=A1,A1=f'(x.)；P''(x.)=2!A2,A2=f''(x.)/2!……P(n)(x.)=n! An,An=f(n)(x.)/n!。至此，多項的各項系數都已求出，得：P(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!•(x -x.)^2+……+f(n)(x.)/n!•(x-x.)^n.
接下來就要求誤差的具體表達式了。設Rn(x)=f(x)-P(x),於是有Rn(x.)=f(x.)-P(x.)=0。所以可以得出Rn(x.)= Rn'(x.)=Rn''(x.)=……=Rn(n)(x.)=0。根據柯西中值定理可得Rn(x)/(x-x.)^(n+1)=Rn(x)-Rn (x.)/(x-x.)^(n+1)-0=Rn'(ξ1)/(n+1)(ξ1-x.)^n(註：(x.-x.)^(n+1)=0),這里ξ1在x和x.之間；繼續使用柯西中值定理得Rn'(ξ1)-Rn'(x.)/(n+1)(ξ1-x.)^n-0=Rn''(ξ2)/n(n+1)(ξ2-x.)^(n- 1)這里ξ2在ξ1與x.之間；連續使用n+1次後得出Rn(x)/(x-x.)^(n+1)=Rn(n+1)(ξ)/(n+1)!，這里ξ在x.和x之間。但Rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)-P(n+1)(x),由於P(n)(x)=n!An,n!An是一個常數，故P(n+1)(x)=0，於是得Rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)。綜上可得，余項Rn(x)=f(n+1)(ξ)/(n+1)!•(x-x.)^(n+1)。一般來說展開函數時都是為了計算的需要，故x往往要取一個定值，此時也可把Rn(x)寫為Rn。
泰勒
18世紀早期英國牛頓學派最優秀代表人物之一的英國數學家泰勒（Brook Taylor）， 於1685 年8月18日在米德爾塞克斯的埃 德蒙頓出生。1709年後移居倫敦，獲法學碩士學位。他在 1712年當選為英國皇家學 會會員，並於兩年後獲法學博士學位。同年（即1714年）出任 英國皇家學會秘書，四年 後因健康理由辭退職務。1717年，他以泰勒定理求解了數值方程。 最後在1731年1 2月29日於倫敦逝世。
泰勒的主要著作是1715年出版的《正 的和反的增量方法》，書內以下列形式陳述出他已於 1712年7月給其老師梅欽（數學家 、天文學家）信中首先提出的著名定理——泰勒定理：式內v為獨立變數的增量， 及 為流數。他假定z隨時間均勻變化，則為常數。上述公式以現代 形式表示則為：這公式是從格雷戈里－牛頓插值公式發展而成 的，當x＝0時便稱作馬克勞林定理。1772年，拉格朗日強調了此公式之重要性，而且 稱之為微分學基本定理，但泰勒於證明當中並沒有考慮 級數的收斂性，因而使證明不嚴謹，這工作直至十九世紀二十年代才由柯西完成。
D. 泰勒中值定理1證明問題
因為Rn（x）的極限是0，而當x趨近於x0時x-x0的極限也是0，就是0比0型，洛必達法則，中間省略號的就是求n-1階導數，而當x趨近於x0的時候，Rn（x0）=0，就是倒數第二部的來歷（個人覺得沒必要）。後面的不懂可以追問，一起討論，這也是我個人理解，不一定對。
E. 求泰勒公式推導詳解
泰勒公式：將一個在x=x0處具有n階導數的函數f（x）利用關於（x-x0）的n次多項式來逼近函數的方法版。
若函數f（x）在包權含x0的某個閉區間[a,b]上具有n階導數，且在開區間（a,b）上具有（n+1）階導數，則對閉區間[a,b]上任意一點x，成立下式：
泰勒展開式的應用：
1、冪級數的求導和積分可以逐項進行，因此求和函數相對比較容易。
2、一個解析函數可被延伸為一個定義在復平面上的一個開片上的解析函數，並使得復分析這種手法可行。
3、泰勒級數可以用來近似計算函數的值，並估計誤差。
4、證明不等式。
5、求待定式的極限。