1. 用有限覆蓋定理
先用有限覆蓋定理證明聚點定理，再用聚點定理證明緻密性定理（即任何有界數列必有收斂子列）。
2. 有限覆蓋定理怎麼用
所謂有限覆蓋定理，是指：對於有界閉區間[a，b]的一個（無限）開覆蓋H中，總能選出有限個開區間來覆蓋[a，b]。
這一問題可用區間套定理來證明。（區間套定理：若[an,bn]是一個區間套，則在實數系中存在唯一一點C，使對任何n都有c屬於[an,bn].{an}單調遞增，{bn}單調遞減，都以c為極限。）
證明：用反證法 假定不能用H中有限個開區間來覆蓋[a,b].
將[a,b]等分為兩個子區間，則其中至少有一個子區間不能用H中有限個開區間來覆蓋。記這個子區間為[a1,b1],則[a1,b1]包含於[a,b],且b1-a1=(b-a)/2.
再將[a1,b1]等分為兩個子區間，同樣，其中至少有一個不能用H中有限個開區間覆蓋。記這個子區間為[a2,b2],則[a2,b2]包含於[a1,b1],且b2-a2=(b-a)/2^2.
重復以上步驟並不斷進行下去，則可得到區間列{[an,bn]},它滿足區間套條件，且其中每一個閉區間都不能用H中有限個開區間來覆蓋。
但，由區間套定理，存在唯一點c屬於所有區間[an,bn].由於H是[a,b]的開覆蓋，一定存在H中的一個開區間(a0,b0),使c屬於(a0,b0).即a0<c<b0.而{an}，{bn}都以c為極限，即知，存在N，當n>N時,a0<an<=c<=bn<b0.這表明，只用開區間(a0,b0)就覆蓋了區間[an,bn].
這與挑選[an,bn]時假設「[an,bn]不能用H中有限個開區間覆蓋」矛盾。從而證得，必存在H中有有限個開區間能覆蓋[a,b].
3. 誰可以幫我解釋一下有限覆蓋定理，完全看不懂定理的描述。
定理：設H為閉區間[a,b]的一個（無限）開覆蓋，則從H中可選出有限個開區間開覆蓋[a,b].開覆蓋的定義：設S為數軸上的點集，H為開區間的集合，（即H中每一個元素都是形如(a,b)的開區間).若S中的任何一點都含在至少一個開區間內，則稱H為S的一個開覆蓋，或簡稱H覆蓋S.若H中的開區間的個數是有限（無限）的，那麼就稱H為S的一個有限（無限）覆蓋.有限覆蓋定理是實數定理1.確界定理2.單調有界數列必收斂3.閉區間套定理4聚點定理5凝聚定理 的逆否命題。 用1-5定理證明有限覆蓋定理比較簡單，用反證法即可以完成。 而用有限覆蓋定理證明1-5，也要用反證法，但是初學者對如何構造具體的開覆蓋是不如上面的直觀。
4. 解釋一下有限覆蓋定理
全部咯，只有4個，就是有限了。
(1,4),(3,6)也可以，就兩個咯。
5. 有限覆蓋定理到底有什麼意義
有限覆蓋定理：設H是閉區間[a,b]的一個（無限）開覆蓋，則必可從H中選擇有限個開區間來覆蓋[a,b]。
有限覆蓋定理是實數定理：
1.確界存在定理；2. 單調有界定理；3.閉區間套定理；4.聚點定理；5. 柯西收斂准則的逆否命題。這6個定理是等價的，可以互相推出對方，它們都反應了實數的連續性與完備性，在數學分析上有著重要的運用。
尤其是有限覆蓋定理，它可以推廣到n維空間（此時定理的描述會發生改變，但本質不變），從而定義了緊集和緊空間等。
當然，利用有限覆蓋定理，還可以證明閉區間上連續函數的某些性質。在這里作為例子，利用有限覆蓋定理證明閉區間上的連續函數一致連續。
6. 解釋，覆蓋，開覆蓋，有限覆蓋，有限覆蓋定理
為了直觀理解方便，就在二維空間里解釋吧：
首先在平面上規定一個區域，叫做A區域。這個區域可以任意規定，可以是曲線圍出來的部分，也可以就是幾條曲線，或者僅僅幾個點也行，甚至可以同時包括這些東西。比如可以規定A是一個實體正方形和一個圓周在加上其它幾個點。
現在另外找一堆區域，比如說可以找一堆圓盤，如果用這一堆區域能夠把A區域「蓋住」，就說這一堆區域是A的一個「覆蓋」，這里的「蓋住」就理解為日常生活中的「蓋住」就行，比如說拿一個鍋蓋把一個鍋「蓋住」，要是一個鍋蓋蓋不住，就用好幾個鍋蓋，這些鍋蓋可以互相重疊，怎麼蓋都行，只要把鍋蓋住了就好。
因為「區域」本身在數學上被定義為點集，所以有開集、閉集之說，如果我們找到的那堆用來覆蓋A的區域全都是開集，就說這個覆蓋是「開覆蓋」。
如果能找到有限個區域把A覆蓋，就說這有限個區域是A的一個「有限覆蓋」。這種情況是存在的，因為如果A比較簡單，比如就是一個正方形，那就找一個大正方形就能把它蓋住，那麼這個大正方形就是A的一個有限覆蓋。
有限覆蓋定理說的是：對於A的任何一個開覆蓋，也就是一堆開集，它們覆蓋了A，總是可以在這個開覆蓋中找到有限個開集，用這有限個開集就能把A覆蓋了。
7. 數學分析，有限覆蓋定理
有限覆蓋定理必須要有閉區間（多元則區域）這個先決條件！
8. 怎樣理解有限覆蓋定理
個人推薦去看Apostol的數學分析上Heine-Borel的證明